W 1969 r. ukończył Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. W 1973 przebywał na stażu w Instytucie Radioastronomii Maksa Plancka w Bonn. W 1975 na macierzystej uczelni uzyskał stopień doktora fizyki za pracę poświęconą pulsarom. Od 1982 na stałe za granicą.
We wrześniu 1990 roku za pomocą radioteleskopu w Arecibo (Portoryko) odkrył pierwsze 3 planety poza Układem Słonecznym, krążące wokół pulsara PSR 1257+12 w konstelacji Panny. Odkrycie zostało oficjalnie zaprezentowane na zjeździe Amerykańskiego Towarzystwa Astronomicznego w Atlancie w styczniu 1992 i opublikowane w naukowym czasopiśmie – Nature w dniu 9 stycznia 1992 roku[2]. W 1992 roku otrzymał Nagrodę Fundacji na rzecz Nauki Polskiej za odkrycie pierwszego pozasłonecznego układu planetarnego.
Od 1992 roku prowadzi badania i wykłada jako profesor astronomii i astrofizyki na Uniwersytecie Stanowym Pensylwania (Penn State) oraz swej macierzystej uczelni.
Dnia 22 marca 1994 roku opublikował pełne wyniki badań swego odkrycia w czasopiśmie Science[3]. Wyróżniony przez pismo Nature jako autor jednego z 15 fundamentalnych odkryć z dziedziny fizyki upublicznionych przez wydawnictwo.
W 1996 roku otrzymał nagrodę Beatrice M. Tinsley Prize z rąk Amerykańskiego Towarzystwa Astronomicznego (American Astronomical Society). Postanowieniem prezydenta Aleksandra Kwaśniewskiego z dnia 11 listopada 1997 roku, za wybitne zasługi dla nauki polskiej, został odznaczony Krzyżem Komandorskim Orderu Odrodzenia Polski. Honorowy Obywatel Miasta Szczecina – od 2006 r.
W lutym 2005 roku na konferencji w Aspen w Kolorado ogłosił, że wraz z Maciejem Konackim odkrył jeszcze czwartą planetę w tym układzie.
W maju 2007 roku wraz z grupą polskich astronomów kierowaną przez Andrzeja Niedzielskiego odkrył planetę HD 17092 b krążącą wokół gwiazdy HD 17092. Do tego celu użyto teleskopu Hobby-Eberly w Teksasie.[4]
Wolszczan został uhonorowany w toruńskiej Alei Gwiazd, gdzie na Rynku Staromiejskim odsłonił pierwszą z „katarzynek“ – podpisów słynnych torunian. Profesor miał również otrzymać honorowe obywatelstwo miasta Torunia, ale zrzekł się wyróżnienia nie podając wyraźnych powodów. Został wyróżniony jako Torunianin XX wieku.
W 2007 roku powstał film dokumentalny, w reżyserii Jana Sosińskiego pod tytułem „Gwiazdor – Aleksander Wolszczan“. Obraz przybliża sylwetkę naukowca oraz przedstawia jego zainteresowania i opowieści dotyczące wcześniejszego życia w Polsce.
Na przełomie września i października 2008 ujawniono, że w latach 1973-1986 Wolszczan współpracował ze Służbą Bezpieczeństwa; na początku października prof. Wolszczan zrezygnował z etatu na Uniwersytecie w Toruniu; rezygnacja została przyjęta przez rektora, przy czym obie strony potwierdziły dalszą wolę współpracy naukowo badawcze